Лекция 1. Множества и символы.

Дать определение понятию "множество" вообще говоря невозможно без использования слов-синонимов для этого слова, таких как "совокупность", "объединение" и т.п. Именно из-за этого понятие множество в математике относят к первичным, изначально ясным, неопределенным понятиям. Говоря, например, о множестве учеников в классе, каждый человек отдает себе отчет, о чем идет речь.

Множества, как правило, обозначают большими латинскими буквами: А, B, C, X ... . Множество состоит из элементов (элементы мы будем обозначать маленькими латинскими буквами: a, x, c, ...). Запись  означает, что элемент a является элементом множества X (читают "а принадлежит X"). Аналогично означает, что элемент b не принадлежит множеству X. Два множества считают равными (пишут A=B), если они состоят из одинаковых элементов.

Символом обозначают пустое множество, т.е. множество, которое не содержит элементов вообще.

Задать множество можно, перечислив все его элементы:
.

Другим способом задания множества является указание условия P (предиката), которому удовлетворяет любой элемент данного множества и только элементы этого множества:
.

Пример 1.
Пусть . Можно записать A = B.


Объединением множеств A и B, называется множество , каждый элемент которого принадлежит либо множеству А, либо множеству B:
.

Пересечением множеств А и B, называется множество , каждый элемент которого принадлежит одновременно множеству A и множеству B:
.

Разностью множеств A и B, называется множество , каждый элемент которого принадлежит A и не принадлежит множеству B:


Если любой элемент из множества A также является элементом множества B, то говорят, что A является подмножеством множества B, и записывают .

Пример 2. Пусть  , тогда:

Изучение и применение математики немыслимо без использования специальных символов. С помощью таких символов удается сложные формулировки и доказательства записывать в сжатом, компактном виде. Многие арифметические символы Вам уже известны из средней школы, однако по мере надобности будем вводить новые.

В формальной записи формулировок теорем и доказательств часто используются следующие символы:

В нашем курсе часто приходится строить высказывание, противоположное некоторому утверждению. Для этого используют следующее правило.

Правило Де Моргана. Пусть формальная запись высказывания P содержит символы , , ( в любом порядке и количестве) и заключение Q. Для построения формулы высказывания "не P", противоположного высказыванию P, нужно заменить каждый символ на , на , Q на "не Q".